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PUISSANCES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$[2\operatorname {Cos} .x]^{m}\left(A_{m}\pm {\sqrt {-1}}B_{m}\right)=(2\operatorname {Cos} .x)^{m}\,;$

de manière que

$A_{m}\pm {\sqrt {-1}}B_{m}=(\pm 1)^{m}.$

10.

Maintenant nous observerons que, pour toutes les valeurs de $x$ qui donnent le même signe à $\operatorname {Cos} .r,$ la réalité, ou généralement la forme des racines différentes de $2\operatorname {Cos} .x,$ est absolument indépendante de la valeur de $x$ même, de manière qu’on peut mettre une valeur quelconque pour $x,$ par exemple, $x=0$ pour un cosinus positif et $x=\pi$ pour un cosinus négatif, sans passer d’une racine réelle a une racine imaginaire, ou généralement de la forme d’une racine quelconque, correspondant à une certaine valeur de $n,$ à une autre forme. C’est, au surplus, ce que l’expression

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.(\pm 1)^{m}$

fait voir clairement ; car les $k$ valeurs qu’expriment les deux formules $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}$ et $[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.(\pm 1)^{m}$ étant identiquement les mêmes, et $[2\operatorname {Cos} .x]^{m}$ n’ayant qu’une seule et unique valeur, il est clair que les valeurs de $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}$ sont purement réelles, purement imaginaires ou de la forme $p\pm {\sqrt {-1}}q$ dans les mêmes cas que les valeurs de $(\pm 1)^{m},$ c’est-à-dire, les valeurs de $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}$ pour $x=0$ et $x=\pi$ le sont elles-mêmes.

11.

On trouvera donc les valeurs de $n$ qui donnent les racines de $2\operatorname {Cos} .x$ toutes réelles, toutes imaginaires ou de la forme $p\pm {\sqrt {-1}}q,$ si l’on cherche les valeurs de $n$ qui donnent pour $(\pm 1)^{m}$ des