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DES COSINUS.

$P_{n}=2^{m}.\operatorname {Cos} .2m(n+1)\pi ,\qquad Q_{n}=\pm 2^{m}.\operatorname {Sin} .m(2n+1)\pi \,;$

donc

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.\left\{\operatorname {Cos} .2mn\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mn\pi \right\},$

ou

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.\left\{\operatorname {Cos} .(1\pm 2n)\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi \right\}.$

9.

Ces expressions se vérifient sur-le-champ ; car la formule générale connue

$(\operatorname {Cos} .x\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .mx\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx$

donne, si on y fait $x=2n\pi ,$

$(+1)^{m}=\operatorname {Cos} .2mn\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mn\pi ,$

et si l’on y fait $x=(1\pm 2n)^{\pi }$

$(-1)^{m}=\operatorname {Cos} .m(1\pm 2n)\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi .$

Substituant donc ces valeurs de $\operatorname {Cos} .2mn\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2mn\pi$ et de $\operatorname {Cos} .m(1\pm 2n)\pi \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(1\pm 2n)\pi$ dans l’expression de $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}$ trouvée en dernier lieu, on aura

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=[2\operatorname {Cos} .x]^{m}.(\pm 1)^{m},$

comme cela doit être.

Voila donc une preuve certaine de l’exactitude de l’expression générale de $(2\operatorname {Cos} .x)^{m}$ à laquelle nous sommes parvenus en dernier lieu.

Pour distinguer la nouvelle expression ci-dessus de l’expression générale $P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},$ désignons-la par