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PUISSANCES

2.^o La quantité $Q_{n}$ s’évanouit toujours, c’est-à-dire, qu’une valeur de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{4}}$ toute réelle existe dans tous les cas, et pour toutes les valeurs possibles de $k,$ puisque, pour cette valeur réelle, la quantité $n$ est toujours égale à zéro, et par suite indépendante de $k.$

II. Pour $\operatorname {Cos} .x$ négatif.

1.^o La quantité $P_{n}$ ne peut s’évanouir ou, ce qui revient au même, $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ ne saurait avoir des valeurs purement imaginaires, à moins que $k-2$ ne soit un multiple de $4\,;$ car on a trouvé, dans ce cas, $n={\frac {k-2}{4}},$ sous la condition que $n$ soit un nombre entier.

2.^o La quantité $Q_{n}$ ne peut s’évanouir, c’est-à-dire, qu’il ne peut exister des valeurs entièrement réelles de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ à moins que $k$ ne soit impair, puisqu’on a trouvé pour ce cas $n={\frac {k-1}{2}},$ sous la condition que $n$ soit un nombre entier.

17.

L’expression générale de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ si l’on y substitue la valeur ${\frac {1}{k}}$ de $m,$ donne

$(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n}$

${\begin{array}{r}=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}(x\pm 2n\pi )\\\\+{\frac {1}{k}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\pi )\\\\+{\frac {1}{k}}.{\frac {{\frac {1}{k}}-1}{2}}\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-4\right)(x\pm 2n\pi )\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}\pm {\sqrt {-1}}\left\{{\begin{array}{r}=\operatorname {Sin} .{\frac {1}{k}}(x\pm 2n\pi )\\\\+{\frac {1}{k}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\pi )\\\\+{\frac {1}{k}}.{\frac {{\frac {1}{k}}-1}{2}}\operatorname {Sin} .\left({\frac {1}{k}}-4\right)(x\pm 2n\pi )\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \end{array}}\right.$