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DES COSINUS.

trouvent en substituant la valeur ${\frac {k-1}{2}}$ de $n,$ qui correspond à ce cas, dans tous les termes de $P_{n},$ qui devient ainsi $P_{{\frac {1}{2}}(k-1)},$ et qui constitue à elle seule la quantité cherchée. Cela donne

$\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}\left[x\pm (k-1)\right](x\pm 2n\pi )$

$=-\operatorname {Cos} .{\frac {1}{k}}.(x\pm \varpi )=-\operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi ),$

$\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm 2n\varpi )=\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)[x\pm (k-1)\varpi ]$

$=-\operatorname {Cos} .\left({\frac {1}{k}}-2\right)(x\pm \varpi )=-\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \varpi )\,;$

 

et par suite

$P_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=-\left\{\operatorname {Cos} .m(x\pm \varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm \pi )+\ldots \right\}=-P_{\frac {1}{2}}$

donc

$(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{{\frac {1}{2}}(k-1)}=-P_{\frac {1}{2}}\,;$

ce qui donne l’unique valeur entièrement réelle de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ pour le cas où $k$ est impair et $\operatorname {Cos} .x$ négatif.

Quant à la quantité $Q_{{\frac {1}{2}}(k-1)}$ qui doit s’évanouir dans ce cas, on trouvera, par un calcul semblable à celui qui a été employé pour $P_{{\frac {1}{2}}(k-1)},$