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PUISSANCES
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{({\frac {1}{4}}k)}^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a4a6a52c09a256e278efb12ed78b28c73b841e)
dans le seul cas où
est un multiple de ![{\displaystyle 4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad196d766a835649677e286e4ea30bdaa99d3e0)
Le surplus des
valeurs
s’expriment toujours par
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e02cb58f1b22a419a901a250e09b854be0fac36)
où l’on peut donner à
toutes les valeurs entières et positives autres que celles qui répondent aux cas particuliers que nous venons d’examiner, savoir,
pour tous les cas,
et
pour
pair, et enfin
et
pour
multiple de ![{\displaystyle 4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad196d766a835649677e286e4ea30bdaa99d3e0)
À quoi il faut ajouter que, pour tous les cas possibles d’un cosinus positif, on a toujours
![{\displaystyle Q_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9705534743176ccf1f0bc0ea66cbdc66a999b96e)
II.
Dans le cas de
négatif,
1.o Si
est pair, il n’existe, parmi les
valeurs de
que deux valeurs purement imaginaires, exprimées par
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{{\frac {k-2}{4}}{\text{ et }}{\frac {3k-2}{4}}}^{\frac {1}{k}}=\pm {\sqrt {-1}}P_{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1677313666a43fc320113f92082878ea3dc8fe5c)
si
est un multiple de
le reste des
valeurs est de la forme
![{\displaystyle (2\operatorname {Cos} .x)_{n}^{\frac {1}{k}}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e02cb58f1b22a419a901a250e09b854be0fac36)
où l’on peut mettre pour
tous les nombres entiers, depuis
jusqu’à
excepté les deux nombres
et ![{\displaystyle {\frac {3k-2}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da6ae8d871c307b37a415464e2759d1094079ec)
Pour toutes les autres valeurs paires de
pour lesquelles
n’est pas un multiple de
il n’existe ni valeurs entièrement réelles ni valeurs purement imaginaires de
Toutes les
valeurs sont alors de la forme