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PUISSANCES

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\operatorname {Tang} .{\frac {1}{4}}m\pi ={\frac {m-{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.{\frac {m-3}{4}}.{\frac {m-4}{5}}-\ldots }{1-{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.{\frac {m-3}{4}}-\ldots }}$

20.

L’expression ordinaire de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{4}}$ qu’on a admise jusqu’ici, pour tous les cas possibles, est généralement

$(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{0}\,;$

de plus on a tacitement supposé

$Q_{0}=0,$

pour tous les cas.

En comparant ces expressions aux résultats qu’on vient de trouver, on voit aisément les exceptions auxquelles elles sont soumises.

En effet l’expression $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{0},$ admise généralement, n’est exacte et complète que dans le seul cas où $\operatorname {Cos} .x$ est positif et $k$ un nombre impair. Si $k$ est un nombre pair, l’expression $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{0},$ ne donne qu’une seule des deux valeurs $\pm P_{0}$ qui existent dans ce cas. Et de plus elle ne donne pas les deux valeurs purement imaginaires de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}$ qu’on doit obtenir, si $k$ est un multiple de $4,$ et qui sont $\pm {\sqrt {-1}}P_{0}.$ Si $\operatorname {Cos} .x$ est négatif et $k$ pair, l’expression $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}}=P_{0}$ est en défaut ; car, dans ce cas, il n’existe pas de valeurs entièrement réelles de $(2\operatorname {Cos} .x)^{\frac {1}{k}},$ mais seulement deux valeurs purement imaginaires, ne différant l’une de l’autre que par le signe, et dont l’expression est $\pm {\sqrt {-1}}P_{\frac {1}{2}},$ si $k-2$ est un mulhple de $4.$ Si, $\operatorname {Cos} .x$ étant toujours négatif, $k$ est impair, l’expression de