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RÉSOLUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Le problème est encore ici plus que déterminé, comme dans le premier énoncé, et chacune des deux conditions suffit à elle seule pour faire obtenir l’équation différentielle de la courbe dont il s’agit ; mais ces conditions ne sont plus incompatibles ; et elles se trouvent l’une et l’autre satisfaites par la courbe enveloppe de l’espace parcouru par l’un des côtés d’un angle droit dont le sommet décrit une hyperbole équilatère, tandis que son autre côté passe constamment par le centre de la courbe.

Soit en effet $(x,y)$ un des points de cette enveloppe, rapportée aux axes de l’hyperbole, dont nous supposons la longueur commune $2a$ et soit $(x',y')$ le point correspondant de cette dernière courbe ; nous aurons d’abord

$x'^{2}-y'^{2}=a^{2}.\qquad$(1)

De plus, la droite qui joindra nos deux points, tangente à la courbe cherchée au point $(x,y),$ aura pour équation

$x'x+y'y=x^{2}+y^{2}.\qquad$(2)

Enfin, il faudra exprimer que le point $(x,y)$ demeure le même lorsque le point $(x',y')$ varie infiniment peu, en parcourant l’hyperbole, ce qui donnera

$x'\operatorname {d} x'-y'\operatorname {d} y'=0,$

$(x-2x')\operatorname {d} x'+(y-2y')\operatorname {d} y'=0\,;$

d’où on conclura, par élimination,

$y'x+x'y=4x'y'.\qquad$(3)

L’équation de la courbe cherchée sera donc le résultat de l’élimination de $x'$ et $y'$ entre les équations (1, 2, 3).

Pour y procéder commodément, et développer, chemin faisant, les propriétés de cette courbe qui font le sujet du problème, éliminons d’abord, tour-à-tour, $x$ et $y$ entre les équations (2, 3) ; en ayant égard à l’équation (1), on aura ainsi