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QUESTIONS

$\left.{\begin{array}{lll}&a^{2}y=3x'^{2}y'-y'^{3},\\&a^{2}x=x'^{3}-3x'y'^{2}.\end{array}}\right\}\qquad (4)$

En divisant ces deux équations l’une par l’autre, on a

${\frac {y}{x}}={\frac {3x'^{2}y'-y'^{3}}{x'^{3}-3x'y'^{2}}}={\frac {3{\frac {y'}{x'}}-\left({\frac {y'}{x'}}\right)^{3}}{1-3\left({\frac {y'}{x'}}\right)^{2}}}.\qquad$(5)

Or en désignant par $\mathrm {O}$ l’origine ou pôle, par $\mathrm {OX}$ la direction de l’axe des $x,$ par $\mathrm {P}$ le point $(x,y)$ de la courbe cherchée et par $P'$ le point correspondant $(x',y')$ de l’hyperbole on aura

${\frac {y}{x}}=\operatorname {Tang} .\mathrm {POX} ,\qquad {\frac {y'}{x'}}=\operatorname {Tang} .\mathrm {P'OX} \,;$

au moyen de quoi l’équation (5) deviendra

$\operatorname {Tang} .\mathrm {POX={\frac {3\operatorname {Tang} .P'OX-\operatorname {Tang} .^{3}P'OX}{1-3\operatorname {Tang} .^{2}P'OX}}=\operatorname {Tang} .P'OX} \,;$

donc, en premier lieu, l’angle $\mathrm {POX}$ est constamment triple de l’angle $\mathrm {POX,}$ comme l’exige la question.

En prenant la somme des quarrés des mêmes équation (4), on trouve

$a^{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{3},\qquad$(6)

ou encore

${\frac {\left({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\right)^{3}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=a^{2}\,;$

mais

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\mathrm {OP} ,\qquad {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}=\mathrm {OP} ',$

donc

${\frac {{\overline {OP'}}^{3}}{OP}}=a^{2}\,;$

ainsi les cubes des perpendiculaires $OP'$ sur les tangentes $PP'$ sont