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QUESTIONS

$\left.{\begin{array}{l}2x'^{2}=a^{2}\left\{\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}+1\right\},\\\\2y'^{2}=a^{2}\left\{\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}-1\right\}.\end{array}}\right\}\quad (7)$

retranchant successivement la seconde du triple de la première et le triple de la seconde de la première, il viendra, en divisant par $2,$

$\left.{\begin{array}{l}3x'^{2}-y'^{2}=+a^{2}\left\{\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}+2\right\},\\\\x'^{2}-3y'^{2}=-a^{2}\left\{\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}-2\right\}.\end{array}}\right\}\quad (8)$

ces deux dernières, divisées l’une par l’autre, donnent

${\frac {3x'^{2}-y'^{2}}{x'^{2}-3y'^{2}}}=-{\frac {\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}+2}{\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}-2}},\qquad$(9)

et les équations (7), divisées anssi l’une par l’autre, donnent, par l’extraction de la racine carrée,

${\frac {y'}{x'}}=\pm \left\{{\frac {\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}-1}{\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}+1}}\right\}^{\frac {1}{2}}.\qquad$(10)

mais l’équation (5) peut être mise sons cette forme

${\frac {y}{x}}={\frac {y'}{x'}}.{\frac {3x'^{2}-y'^{2}}{x'^{2}-3y'^{2}}}\,;$

substituant donc les valeurs (9, 10), nous aurons finalement pour l’équation de la courbe cherchée

${\frac {y}{x}}=\pm {\frac {\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}+2}{\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}-2}}\left\{{\frac {\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}-1}{\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}+1}}\right\}^{\frac {1}{2}}\,;$