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THÉORÈME

ANALISE TRANSCENDANTE.

Extension et démonstration nouvelle du théorème
de M. de Stainville, présentée à la page 229
du IX.^e volume du présent recueil ;

Par M. Gergonne.

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L’importance du beau théorème démontré par M. de Stainville à la page 229 du IX.^e volume de ce recueil peut en faire désirer une démonstration sinon plus simple, du moins qui exige assez peu d’écriture pour pouvoir non seulement être introduite dans les traités élémentaires, mais encore être présentée dans une leçon publique, sur un tableau d’une médiocre étendue. On peut remarquer en effet que, puisque l’un des principaux avantages de la langue algébrique sur la langue vulgaire consiste dans la brièveté de ses notations, une démonstration écrite dans cette langue doit être d’autant plus claire et plus facile à suivre qu’elle est exprimée en termes plus concis.

En nous occupant des moyens de parvenir à ce but, relativement au théorème dont il s’agit, nous sommes tombés sur un théorème un peu plus général qui se démontre avec la plus grande facilité, et duquel l’autre se déduit ensuite immédiatement. C’est à exposer le résultat de nos recherches sur ce sujet, que nous destinons, le présent article.

Soit une série

$\operatorname {F} (a)=\operatorname {f} _{0}(a)+\operatorname {f} _{1}(a).{\frac {x}{1!}}+\operatorname {f} _{2}(a).{\frac {x^{2}}{2!}}+\operatorname {f} _{3}(a).{\frac {x^{3}}{3!}}+\operatorname {f} _{4}(a).{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots$(1)

dans laquelle nous supposons le premier terme $\operatorname {f} _{0}(a)$ une fonction tout-à-fait arbitraire de $a$ et de tant d’autres quantités différentes