Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/279

271

DE M. DE STAINVILLE.

de $x$ qu’on voudra, et où tous les autres coefficiens se trouvent définis par l’équation

$\operatorname {f} _{n}(a)=a\operatorname {f} _{n-1}(a+k),\qquad$(2)

de telle sorte qu’en changeant, dans le coefficient de l’un quelconque de ses termes $a$ en $a+k,$ et multipliant ensuite le résultat par $a,$ on obtient le coefficient du terme qui suit immédiatement.

Si, dans cette série, nous changeons simplement $a$ en $b$ nous aurons cette autre série

$\operatorname {F} (b)=\operatorname {f} _{0}(b)+\operatorname {f} _{1}(b).{\frac {x}{1!}}+\operatorname {f} _{2}(b).{\frac {x^{2}}{2!}}+\operatorname {f} _{3}(b).{\frac {x^{3}}{3!}}+\operatorname {f} _{4}(b).{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots$(3)

dans laquelle $\operatorname {f} _{0}(b)$ ne différera de la fonction arbitraire $\operatorname {f} _{0}(a)$ qu’en ce que $a$ y sera changé en $b,$ et où les coefficiens des autres termes se trouveront définis par l’équation

$\operatorname {f} _{n}(b)=b\operatorname {f} _{n-1}(b+k),\qquad$(4)

de sorte qu’en changeant, dans le coefficient de l’un quelconque des termes, $b$ en $b+k$ et multipliant ensuite le résultat par $b,$ on obtiendra le coefficient du terme qui suit immédiatement.

Si l’on fait le produit de ces deux séries, on pourra l’ordonner par rapport à ${\frac {x}{1!}},{\frac {x^{2}}{2!}},{\frac {x^{3}}{3!}},\ldots ,$ et les coefficiens de ses différens termes seront des fonctions de $a$ et $b,$ de sorte qu’on pourra écrire

$\operatorname {F} (a).\operatorname {F} (b)=\phi _{0}(a,b)+\phi _{1}(a,b){\frac {x}{1!}}+\phi _{2}(a,b){\frac {x^{2}}{2!}}+\phi _{3}(a,b){\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots \,;\ (5)$

série dans laquelle on aura évidemment

$\phi _{0}(a,b)=\operatorname {f} _{0}(a).\operatorname {f} _{0}(b).\qquad$(6)

Or ce que nous nous proposons de démontrer, c’est que les coefficiens de tous les autres termes de cette série seront définis par l’équation

$\phi _{n}(a,b)=a\phi _{n-1}(a+k,b)+b\phi _{n-1}(a,b+k),\qquad$(7)

c’est-à-dire, en d’autres termes, que, si dans le coefficient de l’un quelconque des termes, on change d’abord $a$ en $a+k$ en multipliant le résultat par $a,$ puis $b$ en $b+k$ en multipliant le résultat par $b,$