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THÉORÈME

la somme des deux produits sera le coefficient du terme qui suivra immédiatement.

Pour y parvenir, faisons d’abord les premiers termes du produit effectifs de nos deux séries ; nous trouverons ainsi

${\begin{array}{r|r|r}\operatorname {F} (a).\operatorname {F} (b)=\operatorname {f} _{0}(a)\operatorname {f} _{0}(b)+\operatorname {f} _{1}(a)\operatorname {f} _{0}(b)&{\frac {x}{1!}}+\operatorname {f} _{2}(a)\operatorname {f} _{0}(b)&{\frac {x^{2}}{2!}}+\ldots (8)\\\\+\operatorname {f} _{0}(a)\operatorname {f} _{1}(b)&+2\operatorname {f} _{1}(a)\operatorname {f} _{1}(b)&\\&+\operatorname {f} _{0}(a)\operatorname {f} _{2}(b)&\\\end{array}}$

il est facile de s’assurer que la loi annoncée a lieu dans ces premiers termes ; en effet, si nous exécutons les opérations qu’elle prescrit sur son premier terme, nous aurons pour résultat

$a\operatorname {f} _{0}(a+k).\operatorname {f} _{0}(b)+b\operatorname {f} _{0}(a).\operatorname {f} _{0}(b+k)\,;$

mais, par les définitions (2 et 4) ; on a

$a\operatorname {f} _{0}(a+k)=\operatorname {f} _{1}(a),\qquad b\operatorname {f} _{0}(b+k)=\operatorname {f} _{1}(b)\,;$

donc cette quantité revient à

$\operatorname {f} _{1}(a)\operatorname {f} _{0}(b)+\operatorname {f} _{0}(a)\operatorname {f} _{1}(b),$

qui est bien, en effet, le coefficient du second terme.

Si l’on fait les mêmes opérations sur ce coefficient, le résultat sera

$a\left[\operatorname {f} _{1}(a+k).\operatorname {f} _{0}(b)+\operatorname {f} _{0}(a+k)\operatorname {f} _{1}(b)\right]+b\left[\operatorname {f} _{1}(a).\operatorname {f} _{0}(b+k)+\operatorname {f} _{0}(a)\operatorname {f} _{1}(b+k)\right]\,;$

mais, par les définitions (2 et 4)

${\begin{array}{ll}a\operatorname {f} _{1}(a+k)=\operatorname {f} _{2}(a),&b\operatorname {f} _{1}(b+k)=\operatorname {f} _{2}(b),\\a\operatorname {f} _{0}(a+k)=\operatorname {f} _{1}(a),&b\operatorname {f} _{0}(b+k)=\operatorname {f} _{1}(b)\,;\end{array}}$

substituant donc et réduisant, il viendra

$\operatorname {f} _{2}(a)\operatorname {f} _{0}(b)+2\operatorname {f} _{1}(a)\operatorname {f} _{1}(b)+\operatorname {f} _{0}(a)\operatorname {f} _{2}(b),$

qui est bien, en effet, le coefficient du troisième terme.

Nous étant ainsi assurés de la vérité de cette loi pour les premiers termes du développement du produit de nos deux séries, il ne nous reste plus qu’à démontrer qu’elle a lieu pour deux termes consécutifs quelconques. Prenons ceux qui sont affectés de ${\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}$ et ${\frac {x^{n}}{n!}}\,;$ il est aisé de voir que ces deux termes sont