Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/291

283

DES POLYNOMES.

$P_{m}+P_{m-1}+\ldots +P_{k}+\ldots +P_{2}+P_{1}+1\,;\qquad$(1)

dont il s’agit d’assigner le nombre des termes.

Ce nombre étant évidemment déterminé, dès que $m$ et $n$ sont connus, ne saurait être qu’une fonction de ces deux nombres ; fonction encore inconnue, que nous pouvons désigner par $\phi (m,n).$ Tout se réduit donc à assigner la forme de la fonction désignée par $\phi .$

Soient multipliés

L’ensemble des termes $P_{m}\quad$par $a^{0}+b^{0}+c^{0}+\ldots$ ou n,

L’ensemble des termes $P_{m-1}$ par $a\ \,+b\ \,+c\ \,+\ldots ,$

 

L’ensemble des termes $P_{k}$ par $a^{m-k}+b^{m-k}+c^{m-k}+\ldots ,$

 

L’ensemble des termes $P_{2}$ par $a^{m-2}+b^{m-2}+c^{m-2}+\ldots ,$

L’ensemble des termes $P_{1}$ par $a^{m-1}+b^{m-1}+c^{m-1}+\ldots ,$

Et enfin le terme $\qquad \quad 1\$par $a^{m}\quad \!+b^{m}\quad +c^{m}\quad +\ldots \,;$

et soit prise, sans faire de réductions, la somme des différens produits, que nous désignerons par $S.$

Comme chacun des termes du polynome (1) aura été multiplié par un polynome de $n$ termes, il s’ensuit que $S$ aura $n$ fois autant de termes que (1), et qu’ainsi le nombre des termes de $S,$ avant toutes réductions, sera exprimé par

$n\phi (m,n).$