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NOMBRE DES TERMES

De plus, dans chaque multiplication, le multiplicande et le multiplicateur étant homogènes, et la somme de leurs dimensions étant constamment égale à $m,\ m$ sera aussi le nombre des dimensions des différens produits, et par suite de leur somme $S$ qui sera ainsi un polynome homogène de $m$ dimensions, formé avec les $n$ lettres $a,b,c,\ldots$

Or il est aisé de voir que, non seulement le polynome $S$ renfermera tous les termes de $m$ dimensions que l’on peut former avec les $n$ lettres $a,b,c,\ldots ,$ mais que de plus chacun de ces termes s’y trouvera répété $m+n$ fois ; car soit un de ces termes

$a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$

avec la condition $\alpha +\beta +\gamma +\ldots =m,$ on l’aura obtenu en multipliant, savoir

${\begin{alignedat}{3}a^{\alpha }\ \ \ &\mathrm {par} \ b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,&b^{\beta }\ \ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha }c^{\gamma }\ldots ,&c^{\gamma }\ \ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }\ldots ,\ldots \\a^{\alpha -1}&\mathrm {par} \ ab^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,&\qquad b^{\beta -1}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }bc^{\gamma }\ldots ,\qquad &c^{\gamma -1}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c\ldots ,\ldots \end{alignedat}}$

 

${\begin{alignedat}{3}a^{2}&\mathrm {par} \ a^{\alpha -2}bc^{\gamma }\ldots ,&b^{2}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta -1}c^{\gamma }\ldots ,&c^{2}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma -2}\ldots ,\ldots \\a\ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha -1}b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,\qquad &b\ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta -1}c^{\gamma }\ldots ,\qquad &c\ \ &\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma -1}\ldots ,\ldots \\a^{0}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,&b^{0}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,&c^{0}&\mathrm {par} \ a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots ,\ldots \end{alignedat}}$

on l’aura donc obtenu un nombre de fois exprimé par

$(\alpha +1)+(\beta +1)+(\gamma +1)+\ldots =(\alpha +\beta +\gamma +\ldots )+(1+1+1+\ldots )=m+n,$

comme nous l’avions annoncé.

Ainsi la somme $S$ sera, après les réductions faites, un polynome homogène complet de $m$ dimensions, formé avec les $n$ lettres