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RÉSOLUES.
que, poursuivant son maître, il nage depuis un temps illimité : auquel cas on pourra concevoir une certaine époque où la droite qui le joint à son maître deviendra ou aura été perpendiculaire au bord du canal parcouru par celui-ci, c’est-à-dire à l’axe des
Prenons donc cette époque pour origine des temps ; supposons qu’alors la distance du chien à son maître soit
cette longueur se confondra avec l’axe des
et il est d’abord clair que, pour
la distance du maître à l’origine devra être nulle : puis donc que cette distance est, en général
on devra avoir
donc, en vertu de l’équation (3) on aura aussi alors
d’après quoi l’équation (8) deviendra
![{\displaystyle \left({\frac {a}{A}}\right)^{n}=1,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b17d170994cfd26f1e31bf9e72f4b760327fd4b)
d’où
![{\displaystyle \quad A=a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abd1598617a0bc9fc57d4890a183e1084ca7bae)
on aura donc, quel que soit ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{n}=\operatorname {Tang} .z+{\sqrt {1+\operatorname {Tang} .^{2}z}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb14bdf49673862a55086d429b12a22789322452)
(9)
En faisant évanouir le radical du second membre de cette équation, on en tire
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .z={\frac {\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}-\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}{2}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5ce2c955179ee3999ee1977a109168108c7c2a)
(10)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z={\frac {\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}-\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}},\qquad \operatorname {Cos} .z={\frac {2}{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ddf2d177a2788cd56445bd3dfa3c593b110cc4)
(11)
Pour parvenir présentement à l’équation différentielle de la trajectoire, éliminons d’abord d’entre les équations (4) ; il viendra ainsi
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {k\operatorname {Sin} .z-h}{k\operatorname {Cos} .z}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50bd4f68f9fe603b3da5d6e4eb3a173e39d18a6)
(12)
ou, en y mettant pour
et
les valeurs déterminées ci-dessus