Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/302

294

QUESTIONS

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {k-h}{2k}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}-{\frac {k+h}{2k}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\,;\qquad$(13)

valeur qui devient également nulle, soit que $x$ soit nul ou qu’il soit infini.

Si l’on veut avoir la vitesse qui répond à une valeur quelconque de $x,$ en représentant cette vitesse par $v$ et prenant la somme des quarrés des équations (4), il viendra

$v^{2}=\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=h^{2}-2kh\operatorname {Sin} .z+k^{2},$

ou en mettant pour $\operatorname {Sin} .z$ sa valeur (11)

$v^{2}={\frac {(k-h)^{2}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+(k+h)^{2}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}}}.\qquad$(14)

Si, suivant l’usage, nous posons, pour abréger, ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=p,\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=q,$ la formule (13) donnera

$q={\frac {n}{a}}\left\{{\frac {k-h}{2k}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {k+h}{2k}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n+1}\right\},\qquad$(15)

on aura ensuite, par la formule (12),

$1+p^{2}={\frac {k^{2}-2kh\operatorname {Sin} .z+h^{2}}{k^{2}\operatorname {Cos} .^{2}z}}=\left({\frac {v}{k\operatorname {Cos} .z}}\right)^{2}\,;\qquad$(16)

d’où

$\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}=\left({\frac {v}{k\operatorname {Cos} .z}}\right)^{3}$

en désignant donc par $r$ le rayon vecteur, on trouvera

$r={\frac {\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{q}}={\frac {a}{n}}.{\frac {2v^{2}}{k^{2}\left\{(k-h)\left({\frac {x}{a}}\right)^{n-1}+(k+h)\left({\frac {a}{x}}\right)^{n+1}\right\}}}\,;$

ou, en mettant pour $v$ sa valeur