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RÉSOLUES.

${\frac {a}{2}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}\right\}\,;\qquad$(21)

formule qui ne pourra devenir nulle en même temps que $x$ qu’autant que $n$ se trouvera compris entre $+1$ et $-1.$

Si l’on suppose l’eau stagnante, il faudra faire $h=0,$ et conséquemment $g=nk,$ dans toutes les formules que nous venons d’obtenir, lesquelles deviendront ainsi exactement celles qui répondent au problème traité à la page 145 du présent volume. Ce problème n’est, en effet, qu’un cas particulier de celui-ci.

L’équation (19) de la courbe peut être écrite ainsi

$y+{\frac {ag}{\left(n^{2}-1\right)k}}={\frac {a}{2k}}\left\{{\frac {k-h}{n+1}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}+{\frac {k+h}{n-1}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}\right\}.\qquad$(22)

si donc on transporte l’origine sur l’axe des $y,$ à une distance ${\frac {ag}{\left(n^{2}-1\right)k}}$ au-dessous de l’origine primitive, en posant

$y'={\frac {a(k-h)}{2(n+1)k}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1},\qquad y''={\frac {a(k+h)}{2(n-1)k}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1},\qquad$(23)

l’équation de la courbe deviendra

$y=y'+y'',\qquad$(24)

En construisant donc, pour le nouveau système d’axes, les courbes exprimées par les équations (23) ; les ordonnées de la courbe cherchée seront les sommes d’ordonnées correspondantes de ces deux-là.

Il est aisé de voir que, tant que $n$ est un nombre positif plus grand que l’unité, la première de ces courbes est parabolique et l’autre hyperbolique. Si $n,$ positif ou négatif, a une valeur absolue moindre que l’unité, les deux courbes sont paraboliques. Si enfin $n$ négatif a une valeur