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RÉSOLUES.

${\begin{aligned}&\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(b,d)={\frac {a-c}{a+c}}{\sqrt {\frac {BD}{AC}}}\,;\\\\&\operatorname {Tang} .{\frac {1}{2}}(a,c)={\frac {b-d}{b+d}}{\sqrt {\frac {AC}{BD}}}\,;\end{aligned}}$

formules très-commodes pour le calcul par logarithmes.

Passons à la recherche de l’angle des diagonales ; pour cela remarquons que ces diagonales divisent le quadrilatère en quatre triangles dont la somme des aires sera, en appelant $x'$ et $x''$ les deux segmens de $x,$ et $y'$ et $y''$ les deux segmens de $y,$

${\frac {1}{2}}(x'y'+x'y''+x''y'+x''y'')\operatorname {Sin} .(x,y)=$

${\frac {1}{2}}(x'+x'')(y'+y'')\operatorname {Sin} .(x,y)={\frac {1}{2}}xy\operatorname {Sin} .(x,y)\,;$

mais il a été prouvé, dans le mémoire cité que l’aire de ce quadrilatère a aussi pour expression

${\frac {1}{4}}{\sqrt {ABCD}}\,;$

donc

$\operatorname {Sin} .(x,y)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2xy}}\,;$

mais on a

$xy=ac+bd\,;$

donc finalement

$\operatorname {Sin} .(x,y)={\frac {\sqrt {ABCD}}{2(ac+bd)}}.$

De là on conclura facilement

$\operatorname {Cos} .(x,y)={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{2(ac+bd)}}\,;$

et ensuite