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QUESTIONS

$\operatorname {Cos} .(b,d)={\frac {(ab+cd)^{2}+(ad+bc)^{2}-\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}}{2(ab+cd)(ad+bc)}}\,;$

et on trouvera de même

$\operatorname {Cos} .(a,c)={\frac {(ab+cd)^{2}+(ad+bc)^{2}-\left(b^{2}-d^{2}\right)^{2}}{2(ab+cd)(ad+bc)}}.$

De là on déduit

$2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}(b,d)=1-\operatorname {Cos} .(b,d)={\frac {\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}-\left[(ab+cd)-(ad+bc)\right]^{2}}{2(ab+cd)(ad+bc)}},$

ou, en décomposant, divisant par $2$ et extrayant la racine quarrée

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(b,d)={\frac {a-c}{2}}{\sqrt {\frac {BD}{(ab+cd)(ad+bc)}}}\,;$

et on aurait de même

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a,c)={\frac {b-d}{2}}{\sqrt {\frac {AC}{(ab+cd)(ad+bc)}}}\,;$

et, comme on a

$\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b,d)={\frac {\operatorname {Sin} .(b,d)}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(b,d)}},\qquad \operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a,c)={\frac {\operatorname {Sin} .(a,c)}{2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a,c)}}$

il viendra, en substituant,

${\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(b,d)={\frac {a+c}{2}}{\sqrt {\frac {AC}{(ab+cd)(ad+bc)}}},\\\\&\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a,c)={\frac {b+d}{2}}{\sqrt {\frac {BD}{(ab+cd)(ad+bc)}}}\,;\end{aligned}}$

et de là encore