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RÉSOLUES.

Soient $z$ et $z'$ les rapports des sinus des angles que font les deux courbes ou leurs tangentes avec les axes des $x$ et des $y\,;$ on aura

$z={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {B^{2}x}{A^{2}y}},\qquad z'={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {y}{x}},$

d’où on conclura, pour le point d’intersection

$zz'=-{\frac {B^{2}}{A^{2}}},\quad$ou$\quad A^{2}zz'+B^{2}=0.$

Or, cette équation est précisément celle qui doit exister, pour les cordes supplémentaires de l’ellipse, entre les quantités analogues à $z$ et $z'\,;$ d’où il suit que si, par l’extrémité de l’un quelconque des deux diamètres conjugués de cette courbe qui lui sont communs avec la première des deux hyperboles on lui mène une corde parallèle à la tangente à l’une de ces hyperboles au point où elles se coupent, la supplémentaire de cette corde sera parallèle à la tangente à l’autre courbe au même point.

Il ne serait pas difficile de démontrer, au surplus que, deux hyperboles ayant même centre, si les asymptotes de l’une d’elles sont dirigées suivant deux diamètres conjugués de l’autre, les asymptotes de celles-ci seront réciproquement dirigées suivant deux diamètres conjugués de la première ; de manière que, pour le même système d’hyperboles, on peut obtenir deux ellipses qui jouissent de la propriété qui vient d’être démontrée.

Si la première hyperbole est équilatère, et qu’on prenne ses diamètres principaux pour asymptotes de la seconde, qui alors sera également équilatère ; l’ellipse deviendra évidemment un cercle, dans lequel les cordes supplémentaires sont constamment rectangulaires ; donc alors les deux hyperboles se couperont à angles droits. Le théorème qui vient d’être démontré à quelque analogie avec le suivant, qui nous paraît digne de remarque :