324
QUESTIONS
Une ellipse et une hyperbole qui ont le même centre et les foyers communs se coupent toujours perpendiculairement.
Ce théorème peut aisément se démontrer comme il suit. Soit
l’excentricité commune ; les équations des deux courbes rapportées à leurs diamètres principaux seront
![{\displaystyle {\begin{array}{llr}B^{2}x^{2}+\left(B^{2}+c^{2}\right)y^{2}&=B^{2}\left(B^{2}+c^{2}\right),\qquad &(1)\\B'^{2}x^{2}-\left(c^{2}-B'^{2}\right)y^{2}&=B'^{2}\left(c^{2}-B'^{2}\right)\,;\qquad &(2)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c825f46d4943187b2b7f8b858a7dcdd0273e61)
d’où on tirera, par différentiation
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {B^{2}x}{\left(B^{2}+c^{2}\right)y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=+{\frac {B^{2}x}{\left(c^{2}-B^{2}\right)y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5059f7e7d3ff27afaa5500020d38c725825f74)
de sorte qu’en représentant par
et
les tangentes tabulaires des inclinaisons des deux courbes sur l’axe des
il viendra
![{\displaystyle z'=-{\frac {B^{2}x}{\left(B^{2}+c^{2}\right)y}},\qquad z''=+{\frac {B^{2}x}{\left(c^{2}-B^{2}\right)y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507e28184273a79d8e9a89eb1f0f699c23943d72)
En éliminant
et
entre ces formules et les équations (1, 2), il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&xyz'^{2}\ +\left(x^{2}-y^{2}-c^{2}\right)z'\,-xy=0,\\&xyz''^{2}+\left(x^{2}-y^{2}-c^{2}\right)z''-xy=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1dbde4499da2a8e03954ee1a2c51445d8c35e4)
donc, pour un point
d’intersection des deux courbes,
et
dont racines de la même équation du second degré
![{\displaystyle z^{2}+{\frac {x^{2}-y^{2}-c^{2}}{xy}}z-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e63b676603e62dedee13e15786df942527c2802)
d’où il suit qu’on doit avoir
![{\displaystyle z'z''=-1,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c371ccdcb032ee7010e38e97d0bc03ad7a2cf7c)
ou
![{\displaystyle \quad 1+z'z''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6a061a967393155a67ea7b7d91ea0e9689d764)