Démonstration du théorème de géométrie énoncé
à la page 248 du présent volume ;
THÉORÈME. Le point d’un plan indéfini dont la somme des distances à trois autres points, situés hors de ce plan, est un minimum, est tel que si, par la droite qui va de ce point à l’un quelconque des trois autres, on conduit un plan perpendiculaire à celui dont il s’agit, ce plan divisera en deux parties égales l’angle formé par les droites qui vont du même point aux deux points restans.
Démonstration. Soit représentée la figure en relief (fig. 5), en représentant par des lignes ponctuées tout ce qui est hors du plan indéfini. Soient le point cherché sur ce plan, et les trois points donnés hors du même plan ; de manière que doive être un minimum.
1.o Supposons, en premier lieu, que l’une des distances, par exemple, soit donnée, de telle sorte qu’il ne soit question que de rendre minimum la somme des deux autres ; étant respectivement les projections de sur le plan indéfini. Alors le point sera l’un de ceux d’une circonférence ayant son centre en et, en menant une tangente à cette circonférence par ce point, il faudra, pour que soit un minimum, que les angles et soient égaux ; car, soit substitué à un autre point du cercle ou de sa tangente, infiniment voisin du premier, du côté de il est clair que se trouvera diminuée d’une quantité tandis que se trouvera augmentée d’une quantité Or le caractère du minimum est que la diminu-
