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QUESTIONS

$y=2{\sqrt {cc'}}.$

Démonstration de M. Gergonne.

En transformant le théorème en problème on peut se demander quelle est la trajectoire orthogonale de toutes les hyperboles équilatères qui ont les mêmes asymptotes ?

En prenant ces asymptotes pour les axes des coordonnées, on pourra prendre, pour l’équation commune à toutes ces hyperboles,

$xy=A,$

dans laquelle $A$ est un paramètre indéterminé. Si alors $(x',y')$ est le point de l’une de ces courbes où elle est coupée par l’une des courbes cherchées, les équations des tangentes à ces deux courbes en ce point seront

$y-y'=-{\frac {y'}{x'}}(x-x'),\qquad y-y'={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}(x-x')\,;$

afin donc qu’elles se coupent perpendiculairement, on devra avoir

$x-{\frac {y'\operatorname {d} y'}{x'\operatorname {d} x'}}=0\quad$ou$\quad x'\operatorname {d} x'-y'\operatorname {d} y'=0\,;$

équation qui a pour intégrale, en supprimant les accens,

$x^{2}-y^{2}=b,$

qui appartient bien, en effet, à toutes les hyperboles équilatères qui ont pour diamètres principaux les asymptotes des premières.