Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/34

30

INTÉGRALES

fermant simplement que $x,x',x'',\ldots y,y',y'',\ldots$ lequel, égalé à zéro, satisferait à l’équation (XIV), indépendamment de toutes relations entre les fonctions $X,Y\,;$ en supposant donc, dans cette équation unique, $x=z,$ ce qui rendrait nuls $x'',x''',\ldots$ on obtiendrait la différentielle de l’équation cherchée en $x$ et $y.$

30. Retournons présentement au cas général. En intégrant les deux équations (XV), on en déduira les valeurs de $x$ et $y$ en $z,$ lesquelles contiendront l’une et l’autre un nombre plus ou moins grand de constantes arbitraires. Il s’agit maintenant de voir comment on déterminera ces constantes.

31. La première ligne du premier membre de l’équation (XIII) se trouvant annulée, comme nous l’avons dit, par l’équation (XIV), cette équation, en passant aux fonctions primitives, devient

$Const.=\left\{{\begin{aligned}&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)''-\ldots \right]X\\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)'+\ldots \right]X'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)-\ldots \right]X''+\ldots \\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)''-\ldots \right]Y\\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'+\ldots \right]Y'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)-\ldots \right]Y''+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;(\mathrm {XVIII} )$

En y mettant pour $x$ et $y$ leurs valeurs en $z$ et en constantes, déduites de l’intégration des équations (XV), les coefficiens de $X,X',X'',\ldots ,Y,Y',$$Y'',\ldots$ n’y seront plus que des fonctions de $z$ et de ces mêmes constantes.

32. Soient $c_{0}$ et $c_{1}$ les deux limites de l’intégrale ; c’est-à-dire, supposons qu’il soit question de rendre maximum ou minimum l’intégrale $\int V\operatorname {d} x$ prise depuis $z=c_{0}$ jusqu’à $z=c_{1}\,;$ marquons respectivement des indices $0$ et $1$ les valeurs que prennent les diverses quantités qui entrent dans l’équation (XVIII), lorsqu’on y met $z$ les valeurs respectives $c_{0}$ et $c_{1},$ nous aurons ainsi