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INTÉGRALES
fermant simplement que
lequel, égalé à zéro, satisferait à l’équation (XIV), indépendamment de toutes relations entre les fonctions
en supposant donc, dans cette équation unique,
ce qui rendrait nuls
on obtiendrait la différentielle de l’équation cherchée en
et
30. Retournons présentement au cas général. En intégrant les deux équations (XV), on en déduira les valeurs de
et
en
lesquelles contiendront l’une et l’autre un nombre plus ou moins grand de constantes arbitraires. Il s’agit maintenant de voir comment on déterminera ces constantes.
31. La première ligne du premier membre de l’équation (XIII) se trouvant annulée, comme nous l’avons dit, par l’équation (XIV), cette équation, en passant aux fonctions primitives, devient
![{\displaystyle Const.=\left\{{\begin{aligned}&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)''-\ldots \right]X\\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)'+\ldots \right]X'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)-\ldots \right]X''+\ldots \\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)''-\ldots \right]Y\\\\+&\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'+\ldots \right]Y'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)-\ldots \right]Y''+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;(\mathrm {XVIII} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3d9440886c8e99b098da30385623c5812d6764)
En y mettant pour
et
leurs valeurs en
et en constantes, déduites de l’intégration des équations (XV), les coefficiens de ![{\displaystyle X,X',X'',\ldots ,Y,Y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52af4233df71a26dd736265cb8a925b2a6c61fc4)
n’y seront plus que des fonctions de
et de ces mêmes constantes.
32. Soient
et
les deux limites de l’intégrale ; c’est-à-dire, supposons qu’il soit question de rendre maximum ou minimum l’intégrale
prise depuis
jusqu’à
marquons respectivement des indices
et
les valeurs que prennent les diverses quantités qui entrent dans l’équation (XVIII), lorsqu’on y met
les valeurs respectives
et
nous aurons ainsi