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INDÉTERMINÉES.

ou, en retranchant (XVI), divisant par $i$ et exprimant ensuite que l’équation résultante doit avoir lieu quel que soit $i,$

$\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right)Y=0\,;\qquad$(XVII)

équation de relation entre $X$ et $Y,$ au moyen de laquelle on pourra faire disparaître l’une ou l’autre de ces deux fonctions de l’équation (XIV) qui, étant ensuite divisée par l’autre fonction devenue alors facteur de tous ses termes, sera l’équation différentielle d’une certaine surface qui coupera la surface (XVI) suivant la courbe cherchée.

28. On pourra aussi, si l’on veut, ajouter à l’équation (XIV) le produit de l’équation (XVII) par un multiplicateur indéterminé ; égaler séparément à zéro, dans l’équation somme, les coefficiens de $X$ et $Y,$ et éliminer ensuite le multiplicateur indéterminé entre les deux équations résultantes ; ce qui conduira évidemment au même but.

29. Tout ceci suppose, au surplus, que $x$ et $y$ doivent être réellement des fonctions déterminées de $z\,;$ mais ils pourraient fort bien ne l’être que d’une manière purement fictive ; c’est-à-dire, qu’il se pourrait que, $y$ étant fonction de $x$ seulement, on ait voulu, comme cela est permis, les considérer comme étant tous deux des fonctions d’une troisième variable $z,$ sans rien statuer d’ailleurs sur la nature de cette troisième variable et sur ses relations avec chacune des deux autres. Alors l’intégrale $\int V\operatorname {d} x$ pourrait être considérée comme provenant d’une autre intégrale $\int U\operatorname {d} x,$ dans laquelle $U$ aurait été simplement fonction de $x,{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}},\ldots$ et où l’on aurait après coup changé la variable indépendante, en y considérant $x$ et $y$ comme des fonctions d’une troisième variable $z\,;$ on ne devrait donc parvenir alors, comme dans le §. I, qu’à une équation différentielle unique entre $x$ et $y\,;$ il faudrait donc que les équations (XV) eussent un facteur commun sans $z,$ c’est-à-dire, ne ren-