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SOLUTIONS PARTICULIÈRES.

et qui sont la conséquence immédiate des remarques faites ci-dessus (4, 8, 9,).

1.^o Lorsque la différentielle ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}$ est indépendante de $x$ et de $y,$ les solutions particulières de l’équation différentielle $\phi '=0$ ne peuvent représenter que des droites, et sont conséquemment décomposables en facteurs de la forme $y-mx-n=0.$

2.^o En ce cas, si p, $p,p',p'',\ldots$ sont les valeurs de $p$ tirées de l’équation ${\frac {\operatorname {d} \phi '}{\operatorname {d} p}}=0,$ les solutions particulières correspondantes seront

$y-px-n=0,\qquad y-p'x-n'=0,\qquad y-p''x-n''=0,\ldots$

et la question sera réduite à trouver les valeurs de $n,n',n'',\ldots$.

3.^o Lorsque l’équation $\phi '=0$ a des solutions particulières, fonctions de $y$ seul, l’équation ${\frac {\operatorname {d} \phi '}{\operatorname {d} p}}=0$ est satisfaite par $p=0$ ; et, ai l’on substitue cette valeur dans le polynôme $\phi '$, les solutions cherchées seront les facteurs de la forme $y-k.$

4.^o Pour trouver les solutions particulières fonctions de $x$ seul, on indique ordinairement la règle suivante : « Remplacez, dans l’équation $\phi '=0,\ p$ par ${\frac {1}{q}}\,;$ et si $\psi '=0$ représente le résultat de cette substitution, éliminez $q$ entre $\psi '=0\,;$ et ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} q}}=0$ ; vous trouverez alors toutes les solutions fonctions de $x$ seul, et en outre les solutions fonctions de $x$ et $y$ déjà obtenues par la première méthode ». Les principes établis ci-dessus fournissent le moyen d’abréger ce calcul ; il est évident, en effet, que toutes les fois que $\phi '=0$ a des solutions particulières, fonctions de $x$ seul, l’équation ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} q}}=0$ est satisfaite par $q=0,$ et qu’on les obtiendra toutes en substituant zéro au lieu de $q$ dans le polynôme $\psi ',$ et cherchant ensuite ses diviseurs de la forme $x-k.$