Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/351

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

341

PARTICULIÈRES.

9. Je suppose présentement que l’enveloppe $\mathrm {MM'M''} \ldots ,$ soit une droite (fig. 5) faisant avec l’axe des $x$ un angle $\alpha .$ La transversale représentée par l’équation $\phi '=0$ se confondra avec cette droite, lorsqu’on y fera $p=\operatorname {Tang} .\alpha \,;$ de plus, $\mathrm {MM'}$ étant la limite des enveloppées sera aussi la limite des transversales. Donc les droites enveloppes des lignes représentées par $\phi =0$ seront des cas particuliers de celles que représente l’équation $\phi '=0,$ et se trouveront parmi celles de ces lignes qui servent de limites aux autres, et par conséquent la valeur de $p$ qui leur correspond satisfera à la condition ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}=0.$

Mais il est en général très-difficile de trouver les valeurs infinies qui satisfont à une équation, parce qu’elles proviennent de la disparition des termes qui représentent les plus hautes puissances de l’inconnue ; et par conséquent, pour avoir les valeurs qui correspondent à des parallèles aux $y,$ il faudra faire $p={\frac {1}{q}},$ dans l’équation $\phi '=0,$ et si $\psi '=0,$ représente le résultat de cette substitution, on cherchera les valeurs nulles que l’on peut tirer de ${\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} q}}=0.$

10. Nous pouvons donc conclure qu’à l’exception des fonctions de $x$ seul, toutes les solutions particulières de l’équation $\phi '=0$ s’obtiendront en éliminant $p$ entre

\phi '=0\quad

et

\quad {\frac {\operatorname {d} \phi '}{\operatorname {d} p}}=0,

mais, comme les transversales dont il a été question dans les n.^os précédens peuvent avoir des enveloppes et des limites autres que les enveloppes des lignes représentées par l’équation $\phi =0,$ on peut, en suivant cette méthode, trouver des facteurs étrangers à la question. La géométrie semble n’offrir pour les reconnaître aucun moyen que la vérification à posteriori ; mais voici quelques théorèmes que l’analyse n’avait pas, à ce que je crois, fait encore découvrir.