Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/366

356

QUESTIONS

$a+{\frac {1}{2}}.{\frac {a^{3}}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {a^{5}}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {a^{7}}{7}}+\ldots =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=a)\,;$

ainsi qu’il est aisé de s’en assurer, en intégrant par les séries la fonction différentielle

${\frac {\operatorname {d} a}{\sqrt {1-a^{2}}}}=\operatorname {d} .\operatorname {Arc} .(\operatorname {Sin} .=a)\,;$

donc, la, somme de la série

$\operatorname {Cos} .x+{\frac {1}{2}}.{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {\operatorname {Cos} .5x}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {\operatorname {Cos} .7x}{7}}+\ldots$

sera

${\frac {\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .=\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}{2}}.$

Soient $P$ le premier de ces arcs et $Q$ le second ; la somme cherchée sera donc

${\frac {P+Q}{2}},$

et l’on aura

$\operatorname {Sin} .P=\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,$

$\operatorname {Sin} .Q=\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x,$

d’où

$\operatorname {Cos} .P={\sqrt {-2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}},$

$\operatorname {Cos} .Q={\sqrt {+2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x}},$

donc