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RÉSOLUES.

$\operatorname {Cos} .P\operatorname {Cos} .Q=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x\,;$

on a d’ailleurs

$\operatorname {Sin} .P\operatorname {Sin} .Q=1\,;$

donc

$\operatorname {Cos} .(P+Q)=\operatorname {Cos} .P\operatorname {Cos} .Q-\operatorname {Sin} .P\operatorname {Sin} .Q=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1\,;$

donc aussi

$P+Q=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1),$

et par suite

${\frac {P+Q}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=2\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x-1)\,;$

qui est conséquemment la somme finie demandée de la seconde des trois séries infinies proposées.

Si l’on suppose $x=0,$ on a

${\frac {P+Q}{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=-1)={\frac {1}{2}}\varpi \,;$

donc, comme on le savait déjà,

${\frac {1}{2}}\varpi =1+{\frac {1}{2}}.{\frac {1}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}.{\frac {1}{5}}+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}.{\frac {1}{7}}+{\frac {1.3.5.7}{2.4.6.8}}.{\frac {1}{9}}+\ldots$

Quant à la troisième série, on peut la mettre sous cette forme

${\frac {1}{2}}\left\{{\begin{array}{l}&{\frac {\operatorname {Cos} .(x+y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x+y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x+y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x+y)}{4}}+\ldots \\\\+&{\frac {\operatorname {Cos} .(x-y)}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2(x-y)}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3(x-y)}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4(x-y)}{4}}+\ldots \end{array}}\right\}.$