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RÉSOLUES.

${\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .\left(2\operatorname {Cos} .x+2\operatorname {Cos} .y\right).$

Si, au lieu de prendre la demi-somme des deux séries ci-dessus, on prend leur demi-différence, on aura

${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)-\operatorname {Log} .2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)\right\}\,;$

ou encore

${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}}.$

Or,

${\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}}={\frac {2\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x-y)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(x+y)}{2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {1}{2}}(x+y)}}={\frac {\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y}{1+\operatorname {Cos} .(x+y)}}\,;$

donc enfin

${\frac {\operatorname {Sin} .x\operatorname {Sin} .y}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .2x\operatorname {Sin} .2y}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .3x\operatorname {Sin} .3y}{3}}-\ldots$

$={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Cos} .y}{1+\operatorname {Cos} .(x+y)}}.$

Si, dans ce résultat et dans le précédent, on fait $y=x,$ ils deviendront

${\frac {\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}4x}{4}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .x,$

${\frac {\operatorname {Sin} .^{2}x}{1}}-{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}4x}{4}}+\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .{\frac {2\operatorname {Cos} .x}{1+\operatorname {Cos} .2x}}.$

En résumé, si nous faisons abstraction des divers résultats particuliers auxquels nous sommes parvenus, et qui n’avalent pas été demandés, nous aurons