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INTÉGRALES

veut entre $x$ et $y.$ Mais nous éprouverions ici une difficulté du même genre si nous nous proposions d’assigner le plus court chemin, soit entre des courbes à double courbure, soit entre des surfaces courbes ; puisqu’il est de l’essence de la question que mous traitons actuellement que les limites $c_{0}$ et $c_{1}$ demeurent invariables. On peut déjà soupçonner, au surplus, et nous verrons bientôt d’ailleurs ce qu’il y a à faire pour surmonter cette difficulté.

Pour donner un exemple du cas mentionné ci-dessus (27), reprenons l’équation

${\frac {\left(1+y'^{2}\right)x''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}X+{\frac {\left(1+x'^{2}\right)y''-x'y'x''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}Y=0,$

et supposons qu’au lieu de chercher quelle est absolument la plus courte ligne entre nos deux plans, on cherche seulement quelle est la plus courte entre toutes celles qui, se terminant à ces deux plans, sont situées sur une sphère ayant pour équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=M=0.$

On aura ici

$\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\right)=2x,\qquad \left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right)=2y$

de sorte que l’équation de condition (XVII) sera

$xX+yY=0\,;$

ajoutant le produit de cette équation par un multiplicateur indéterminé $\lambda$ à celle ci-dessus, il viendra

$\left\{{\frac {\left(1+y'^{2}\right)x''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+\lambda x\right\}X+\left\{{\frac {\left(1+x'^{2}\right)y''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+\lambda y\right\}Y=0,$

égalant alors séparément à zéro les multiplicateurs des fonctions $X$ et $Y,$ il en résultera les deux équations