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INDÉTERMINÉES.

${\frac {\left(1+y'^{2}\right)x''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+\lambda x=0,\quad {\frac {\left(1+x'^{2}\right)y''-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+\lambda y=0,$

qui, d’après le précédent calcul, reviennent à

$\left({\frac {x'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'+\lambda x=0,\quad \left({\frac {y'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'+\lambda y=0,$

entre lesquelles éliminant $\lambda ,$ il vient

$x\left({\frac {y'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'=y\left({\frac {x'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'\,;$

ou, en développant et transposant,

${\frac {(xy''-yx''){\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}-(xy'-yx')\left({\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}\right)'}{1+x'^{2}+y'^{2}}}=0,$

ou encore${\frac {(xy'-yx')'{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}-(xy'-yx')\left({\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}\right)'}{1+x'^{2}+y'^{2}}}=0,$

ou enfin$\qquad \qquad \qquad \left({\frac {xy'-yx'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'=0,$

ce qui donne, en intégrant, ${\frac {xy'-yx'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}=C.\qquad (\alpha )$

telle est donc l’équation différentielle de la surface qui doit couper la sphère dont l’équation est$\qquad \qquad \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\qquad \ \ (\beta )$

suivant la ligne cherchée. Or, soit un plan passant par le centre de cette sphère et ayant pour équation$\qquad \qquad Ax+By=z\,;\qquad \quad \ (\gamma )$

les équations $(\beta ,\gamma )$ donneront par différentiation

$xx'+yy'=-z,\qquad Ax'+By'=+1\,;$

d’où$\quad \qquad \qquad x'=+{\frac {y+Bz}{Ay-Bx}},\qquad y'=-{\frac {x+Az}{Ay-Bx}}\,;$

de là, en ayant égard aux équations $(\beta ,\gamma ),$

$xy'-yx'=-{\frac {r^{2}}{Ay-Bx}},\qquad {\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}={\frac {r{\sqrt {1+A^{2}+B^{2}}}}{Ay-Bx}},$

et par suite $\qquad {\frac {xy'-yx'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}=-{\frac {r}{\sqrt {1+A^{2}+B^{2}}}}\,;$

équation qui équivaut à l’équation $(\alpha )\,;$ d’où il suit que le système