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INTÉGRALES

en conséquence, l’équation (XIV) deviendra

${\begin{aligned}&\left\{{\frac {x''\left(1+y'^{2}\right)-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {Cy'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right\}X\\\\+&\left\{{\frac {y''\left(1+x'^{2}\right)-x'y'x''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {Cx'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right\}Y=0.\end{aligned}}$

Si donc la courbe cherchée ne doit être assujettie à aucune autre condition, les coefficiens de $X$ et $Y$ devront être séparément nuls, ce qui donnera, pour les deux équations différentielles de la courbe dont il s’agit

${\begin{aligned}&{\frac {x''\left(1+y'^{2}\right)-x'y'y''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {Cy'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,\\\\&{\frac {y''\left(1+x'^{2}\right)-x'y'x''}{(1+x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {Cx'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0\,;\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}&\left({\frac {x'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'+\left({\frac {Cx'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'=0,\\\\&\left({\frac {y'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'+\left({\frac {Cy'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right)'=0\,;\end{aligned}}$

ce qui donne, par une première intégration,

${\begin{aligned}&{\frac {x'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}+{\frac {Cx'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=A,\\\\&{\frac {y'}{\sqrt {1+x'^{2}+y'^{2}}}}+{\frac {Cy'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=B\,;\end{aligned}}$

on tirera évidemment de là

$x'=M,\qquad y'=N\,;$

$M$ et $N$ étant deux nouvelles constantes, fonctions de $A,B,C,$ on aura donc, en intégrant de nouveau,

$x=Mz+G,\qquad y=Nz+N\,;$

la ligne cherchée est donc une droite ; la surface cylindrique dont l’aire doit être égale à $k^{2}$ se réduit donc à un plan rectangulaire ayant cette droite pour diagonale.