39. Dans tout ce qui précède, nous avons constamment supposé qu’il n’y avait dans qu’une seule variable indépendante ; examinons présentement ce qu’il y aura à faire lorsqu’il y en aura plusieurs, et que la quantité à rendre maximum ou minimum sera une intégrale multiple. Soit une expression de forme connue quelconque, composée de deux variables indépendantes et d’une fonction de ces deux variables et des divers coefficiens différentiels partiel, de cette fonction, jusqu’à ceux de tel ordre on voudra ; et considérons l’intégrale double
Si la composition de en et était connue, rien ne serait plus aisé que de ramener cette intégrale à la forme où serait une fonction de et seulement ; et alors on pourrait, soit exactement, soit par les séries, exécuter l’intégration entre telles limites constantes ou variables qu’on voudrait.
Mais on suppose que l’expression de en et n’est pas donnée, on suppose qu’elle est l’inconnue du problème ; et on propose de la déterminer par cette condition qu’après la substitution de sa valeur et de celles de ses divers coefficiens différentiels partiels dans qui alors prendra la forme cette intégrale, prise entre des limites données quelconques, constantes ou variables, et sous des conditions données, compatibles toutefois avec la nature du problème, soit plus grande ou plus petite que toutes celles qui pourraient résulter, entre les mêmes limites et sous les mêmes conditions, de toute autre valeur, fonction de et prise pour
40. Ici, où nous avons deux variables indépendantes, il nous serait incommode d’employer les notations de Lagrange ; en conséquence, nous adopterons les abréviations que voici :
