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INDÉTERMINÉES.

l’équation différentielle partielle, en nous proposait le problème suivant :

PROBLÈME V. Quelle est la moindre surface, entre toutes celles qui sont interceptées par une même surface prismique ou cylindrique indéfinie donnée ?

Solution. Soient pris le plan des $xy$ perpendiculaire et l’axe des $x$ parallèles aux arêtes ou élémens rectilignes de la surface cylindrique ou prismique donnée ; les axes des $x$ et des $y,$ dirigés d’ailleurs comme on le voudra dans leur plan, étant néanmoins perpendiculaires l’un à l’autre. La question se réduira à rendre minimum l’intégrale $\iint \operatorname {d} x\operatorname {d} y{\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}},$ bornée à la surface du prisme et du cylindre.

Nous aurons donc ici $V={\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}},$ d’où (40)

${\begin{alignedat}{3}K=&0,\qquad &L=&{\frac {l}{\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}}},\qquad &N=&0,\ldots ,\\\\&&M=&{\frac {m}{\sqrt {1+l^{2}+m^{2}}}},&O=&0,\ldots ,\\\\&&&&P=&0,\ldots ,\\\\&&&&&\ldots ,\end{alignedat}}$

donc

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}=&{\frac {\left(1+m^{2}\right)n-lmo}{(1+l^{2}+m^{2})^{\frac {3}{2}}}},\qquad &{\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} x^{2}}}=&0,\ldots ,\\\\{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=&{\frac {\left(1+l^{2}\right)p-lmo}{(1+l^{2}+m^{2})^{\frac {3}{2}}}},&{\frac {\operatorname {d} ^{2}O}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=&0,\ldots ,\\\\&&{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}=&0,\ldots ,\\\\&&&\ldots .\end{alignedat}}$

En conséquence, l’équation (XXIX) deviendra