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INDÉTERMINÉES.

$\operatorname {F} (x,x',x'',\ldots ,\quad y,y',y'',\ldots )=L=0\,;$

il en résultera l’équation

$\left.{\begin{aligned}&0=\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{0}X_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}X'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}X''_{0}+\ldots ,\\\\+&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{0}Y_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}Y'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}Y''_{0}+\ldots ,\end{aligned}}\right\}(9)$

et on pourra en avoir d’analogues pour l’autre limite. On ajoutera alors à l’équation (7) les produits de ces équations par des multiplicateurs indéterminés ; égalant ensuite à zéro dans l’équation somme, les coefficiens des diverses fonctions $X,X',X'',\ldots$$Y,Y',Y'',\ldots$ et éliminant enfin les multiplicateurs indéterminés entre les équations résultantes, il en résultera des équations qui, conjointement avec

$L_{0}=0\qquad$(10)

et ses analogues} serviront à déterminer les constantes.

66. Appliquons ces procédés à un exemple.

PROBLÈME VII. Quelle est la plus courte distance à une courbe plane d’un point situé sur le plan de cette courbe ?

Solution. Soient $(a,b)$ le point donné et $L=0$ l’équation de la courbe donnée en $x$ et $y\,;$ la longueur de la distance cherchée sera $\int \operatorname {d} t{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,;$ de sorte que nous aurons $V={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},$ et par suite

${\begin{array}{llr}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)=0,&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)={\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)=0,\ldots ,\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)'={\frac {y'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)'=0,\ldots ,\\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)''=0,\ldots ,\\\\\end{array}}$