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INTÉGRALES
![{\displaystyle {\begin{array}{llr}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)=0,&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)={\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)=0,\ldots ,\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'={\frac {x'(y'x''-x'y'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}},&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'=0,\ldots ,\\\\&&\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''=0,\ldots ,\\\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e858f442f52074c9d4d1fd7ee9f2701a58469460)
En conséquence, les équations (6) deviendront
![{\displaystyle {\frac {y'(x'y''-y'x'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,\qquad {\frac {x'(x'y''-y'x'')}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558218e66848cbcdb41bc956907b2e54ca974dd5)
et seront conséquemment satisfaites l’une et l’autre en posant
![{\displaystyle {\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132092b375b7e29f826f9458de0793cd5b8a7286)
qui sera conséquemment l’équation différentielle de la ligne cherchée.
Cette équation revient simplement à
![{\displaystyle x'y''-y'x''=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba72c4dc14b37943bd1fbca03b14912bc8ba5ee)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {y''}{y'}}={\frac {x''}{x'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dceb8a9fedb6ef996584260550f75937e86beaf)
ce qui donne, par une première intégration
![{\displaystyle \operatorname {l} y'=\operatorname {l} Mx'\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51157267672646534ab19b1169ab042cc9f0fba7)
d’où
et, par une nouvelle intégration,
![{\displaystyle y=Mx+G\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2810fde2a5d9ab11c608e04103d852884a74f1c)
c’est-à-dire que la plus courte ligne que l’on puisse mener à une