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INTÉGRALES
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1+M^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}&=0,\\\\{\frac {M}{\sqrt {1+M^{2}}}}+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}&=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffaf11c4999401cbb9193c92e51b7081614d401b)
entre lesquelles éliminant
il viendra finalement
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}M-\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dabb4dc89a0ae40c4027b0991b6d5033ee34c29)
mais, d’un autre côté, en différentiant l’équation
comme équation en
et
il vient
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463340f249a374886f1328511c55a7543947fbc2)
qui, combinée avec la précédente, donne
![{\displaystyle 1+M{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b909814a5ed3ee0045d5070efcd8ddd2c229dbb)
d’un autre côté, si dans l’équation
![{\displaystyle y=Mx+G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b59f8577d1027e690705854fb43396ba0d9ea7)
on substitue les coordonnées du point
on aura, en retranchant,
![{\displaystyle y-b=M(x-a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96051157d392612150f398d4eacf98191ea58c8)
mettant donc dans cette dernière pour
la valeur donnée par l’équation ci-dessus, il viendra, pour l’équation de la ligne cherchée,