Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/77

73

INDÉTERMINÉES.

$(y-b){\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}+(x-a)=0,$

ce qui nous apprend que la plus courte distance à une courte plane d’un point situé sur le plan de cette courbe est la normale abaissée de ce point sur cette courbe. Il est facile d’en conclure que le plus court chemin entre deux courbes planes, tracées sur un même plan, est la normale qui leur est commune^[1].

67. On voit donc, ainsi que nous l’avions annoncé (55), qu’en considérant $x$ et $y$ comme fonction d’une troisième variable $t,$ le cas des limites variables n’offre plus aucun embarras.

§. V.

68. Les variables $x$ et $y$ étant fonctions de la seule variable indépendante $z,$ et $U$ étant une quantité composée d’une manière connue quelconque en $z,x$ et $y$ et en coefficiens différentiels de ces deux dernières variables, proposons-nous d’assigner les valeurs de $x$ et $y$ en $z$ qui rendent l’intégrale $\int U\operatorname {d} x$ maximum ou minimum, entre des limites données.

69. Pour résoudre cette question, nous commencerons par passer, par les moyens connus, de l’hypothèse de $x$ et $y$ fonctions de $z$ à celle de $x,y,z$ fonctions d’une quatrième variable $t\,;$ ce qui fera prendre à notre intégrale la forme $\int V\operatorname {d} t,$ où $V$ sera une fonction déterminée de $x,y,z$ et des coefficiens différentiels

1. On doit remarquer toutefois que la condition du maximum étant la même que celle du minimum, cette normale commune n’est proprement minimum qu’autant qu’elle se termine aux parties convexes des deux courbes.