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INTÉGRALES

$\left.{\begin{aligned}&\left[x''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-x'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]X\\+&\left[y''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-y'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]Y\\+&\left[z''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-z'(x'x''+y'y''+z'z'')\right]Z\end{aligned}}\right\}=0\,;$

dans laquelle il faudra égaler séparément à zéro les coefficiens de $X,Y,Z.$ Cela ne donnera que la double équation

${\frac {x''}{x'}}={\frac {y''}{y'}}={\frac {z''}{z'}},$

ou, par une première intégration

$x'=Mz',\qquad y'=Nz',$

et ensuite

$x=Mz+G,\qquad y=Nz+H,$

exprimant ensuite que cette droite passe par les deux points donnés, on aura, en éliminant les constantes arbitraires, pour les équations de la ligne cherchée

${\frac {x-a_{0}}{a_{1}-a_{0}}}={\frac {y-b_{0}}{b_{1}-b_{0}}}={\frac {z-c_{0}}{c_{1}-c_{0}}}.$

78. PROBLÈME IX. Quelle est, dans l’espace, la plus courte ligne d’un point donné à une surface donnée ?