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INTÉGRALES

ci-dessus, et supprimant le facteur commun dans l’équation résultante, il viendra, en divisant par $z'_{1},$

$1+{\frac {x'_{1}}{z'_{1}}}{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} z_{1}}}+{\frac {y'_{1}}{z'_{1}}}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} z_{1}}}=0\,;$

ce qui montre que la plus courte ligne tracée sur une surface courbe, d’un point donné à une courbe donnée, doit couper cette courbe orthogonalement. Il est facile d’en conclure que la plus courte ligne tracée sur une surface courbe entre deux courbes données doit couper l’une et l’autre courbes orthogonalement; la courbe doit d’ailleurs, dans l’un et l’autre cas, avoir ses rayons de courbure constamment normaux à la surface sur laquelle elle est tracée^[1].

83. Pour compléter la tâche que noqs nous sommes imposée, nous aurions encore à traiter des intégrales de la forme $\iint UV\operatorname {d} x\operatorname {d} y,$ où $z$ est fonction de $x$ et $y,$ et que, pour suivre l’analogie, il faudrait d’abord ramener à la forme $\iint V\operatorname {d} t\operatorname {d} u,$ dans laquelle $x,y$ et $z$ seraient tous trois fonctions de $t$ et $u\,;$ mais la longueur et la complication des calculs reculeraient, d’une manière notable, les bornes de ce mémoire, déjà excessivement long, et que même nous n’aurions pas entrepris, à travers une multitude de distractions sans cesse renaissantes, ou que du, moins nous aurions remis à une époque plus favorable, si, dès l’abord, nous avions pu en prévoir l’étendue.

84. Que si présentement on nous demande quels avantages peuvent avoir nos notations et nos méthodes sur l’algorithme et les

1. On ne doit pas perdre de vue, au surplus, qu’il n’y a proprement minimum que lorsque la courbe cherchée se termine à des parties convexes des courbes donnée.