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DÉVELOPPEMENT

ANALISE TRANSCENDANTE.

Éclaircissemens sur le développement de $\operatorname {Cos} .^{m}x,$
en fonction des sinus et cosinus d’arcs multiples ;

Par M. Pagani Michel, ingénieur à Genève.

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M. Poisson a fait connaître le premier que le développement de $\operatorname {Cos} .^{m}x,$ en fonction des sinus et des cosinus d’arcs multiples, composé de deux parties, l’une réelle et l’autre imaginaire, qui s’anéantit lorsque $m$ est un nombre entier positif, doit, pour être exact, conserver ces deux parties, lorsque $m$ est un nombre fractionnaire ou négatif ; et que, par conséquent, le développement donné par Euler est en défaut pour ce cas. Si l’on fait, pour plus de simplicité,

${\begin{array}{ll}X=&\operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots \\\\X'=&\operatorname {Sin} .mx\ +{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x\ +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \end{array}}$

on a l’équation

$2^{m}.\operatorname {Cos} .^{m}x=X\pm X'{\sqrt {-1}}.$

Si $m={\frac {p}{q}},$ les deux termes du second membre de cette équation subsistent, et l’on a pour ${\sqrt[{q}]{2^{p}.\operatorname {Cos} .^{p}x}}.$ deux valeurs imaginaires. D’après M. Poisson, ces deux valeurs sont deux racines distinctes ;