On trouve, en premier lieu,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{1}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x\operatorname {Cos} .3y}{3}}+{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x\operatorname {Cos} .5y}{5}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440041b55761b1bf28b8906d709e934166e59f9c)
![{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Tang} .={\frac {4a\left(1-a^{2}\right)\operatorname {Cos} .x\operatorname {Cos} .y}{\left(1+a^{2}\right)-4a^{2}\left(\operatorname {Cos} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{2}y\right)}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bb8ff14de464a515f57e47f33fbd6f9039bab9)
Dans le cas de
ou
cette somme devient celle de la première de nos trois séries, quoique sous une forme un peu différente.
On trouve, en second lieu,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {a^{5}\operatorname {Cos} .5x}{5}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4aa5a10cca02a78a8f213bd6c84964697c8ec52)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\sqrt {\left(1+a^{2}\right)^{2}-4a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}x}}-a^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a19d44eb41894287493169875156b31f90f9940)
qui se change immédiatement dans la seconde série, lorsqu’on, fait ![{\displaystyle a=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87aaf9fe1b82ddb0ba04b257c04f6d0eb4697a5)
Si, dans ces diverses séries, on attribue à
des valeurs particulières, on en fera dériver une multitude d’autres plus ou moins remarquables. La troisième, par exemple, en supposant
devient
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} ^{2}.x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-\ldots ={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} .4\operatorname {Cos} .x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf2bf84249688e54d39c823e18f622996856059)
On trouve, plus généralement,
![{\displaystyle {\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3x}{3}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240fc0e072557404a3a74f8e5c3076d20f7a40d0)
![{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\operatorname {Log} .\left\{\left(1-a^{2}\right)^{2}+4a\left(1+a\right)^{2}\operatorname {Cos} .^{2}x\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475b9e53bc2fcaab0c7552d5ffa82d95a52b78e1)
Rome (mai 1823).