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employés, on s’assurera facilement que, lorsque l’équation $\phi =0$ est de la forme

$(y-ax-b)(y-a'x-b')(y-a''x-b'')\ldots =0,$

$a,a',a'',\ldots$ étant des constantes absolues, et $b,b',b'',\ldots$ des fonctions déterminées de la constante arbitraire $c,$ l’équation $\phi '=0$ doit être de la forme

$(p-a)^{m}(p-a')^{m'}(p-a'')^{m''}\ldots k=0,$

$m,m',m'',\ldots$ étant des nombres positifs quelconques, et $k$ étant un facteur inutile, attendu qu’il ne peut devenir nul pour aucune valeur de $p.$

5. Deuxième cas. Soient $\mathrm {CD,CD',CD''} ,\ldots$ (fig. 4) les droites représentées par l’équation $\phi =0\,;$ suivant la première méthode, nous chercherons à mener à chacune d’elles une tangente parallèle à la droite arbitraire $\mathrm {AB.}$ En essayant la construction sur les droites non parallèles à $\mathrm {AB,}$ la chose sera impossible ; si, au contraire, on l’essaye sur les droites du système, en nombre limité, qui sont parallèles à $\mathrm {AB,}$ tous leurs points seront des points de contact ; de sorte qu’en variant la direction de $\mathrm {AB,}$ les transversales que l’on obtiendra ne seront autres que les droites du système elles-mêmes ; l’équation $\phi '=0$ doit donc représenter les mêmes droites que représente l’équation $\phi =0\,;$ elle doit donc être de la forme $y=-Mx+P,\ M$ et $P$ représentant des fonctions de $p.$

De plus, si dans l’équation $\phi '=0$ on fait $p=\operatorname {Tang} .\mathrm {BAX} ,$ on devra obtenir celle des droites du système qui est parallèle à $\mathrm {AB} \,;$ on doit donc avoir, dans ce cas, $M=\operatorname {Tang} .\mathrm {BAX} ,$ or, cette condition ne saurait être satisfaite pour toutes les directions que peut prendre la droite $\mathrm {AB}$ qu’autant que $M$ sera identiquement égal à $p\,;$ donc finalement l’équation $\phi '=0$ doit alors être de la forme $y=px+P,\ P$ étant toujours une fonction de $p.$