Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/108

La bibliothèque libre.
Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

ramènent à des problèmes de géométrie plane toutes les questions qu’on peut se proposer sur les équations différentielles du premier ordre à deux variables et sur leurs intégrales. Il ne reste plus alors qu’à examiner, dans chaque cas particulier, si la solution géométrique offre moins de difficultés que l’emploi des méthodes analitiques ; et les applications que nous allons offrir au lecteur prouveront qu’il en est ainsi, en effet, dans un grand nombre de cas.

3. PROBLÈME I. Quelle doit être la forme d’une équation différentielle, pour que son intégrale ne renferme les variables qu’au premier degré seulement ?

Solution. Si est une équation du premier degré en et elle représentera un système de droites lesquelles pourront être parallèles ou tangentes à une même courbe ou concourantes en un même point.

Premier cas. Soient (fig. 3) les parallèles représentées par l’équation et la tangente tabulaire de l’angle qu’elles font avec l’axe des . Conformément à la première méthode nous chercherons à mener à chacune d’elles une tangente parallèle à une droite quelconque Si est parallèle à ces droites, ces tangentes se confondront avec elles dans toute leur longueur, et conséquemment la transversale représentée par pour la valeur sera une ligne tout-à-fait arbitraire ; d’où l’on voit déjà que l’équation doit être satisfaite d’elle-même, lorsqu’on y fait et qu’ainsi elle ne saurait être que de la forme étant un exposant positif quelconque. Si, en second lieu, n’est point parallèle à nos droites, on ne pourra, par aucun de leurs points, leur mener des tangentes parallèles à il faudra donc que l’équation ou ne puisse être satisfaite par aucune valeur de autre que et, comme alors elle se réduit à il faudra que cette dernière soit impossible, quelque valeur qu’on attribue à

4. Par des raisonnemens analogues à ceux qui viennent d’être