où est la constante arbitraire.
9. La construction du polygone (fig. 5) donne un moyen fort simple d’obtenir approximativement l’une quelconque des courbes représentées par l’équation d’en assigner les limites et d’en étudier les principales propriétés.
Si, en effet, est réel, quelle que soit la valeur donnée à on en conclura que la courbe admet des tangentes dans toutes sortes de directions ; et, dans le cas contraire, on pourra assigner la direction des tangentes extrêmes. En prenant les maxima et les minima de on déterminera celles des droites qui limitent les différentes branches de la courbe. Enfin, en égalant, à une quantité quelconque et discutant les racines de l’équation résolue par rapport à on connaîtra si la courbe s’étend indéfiniment dans tous les sens ; ou bien l’on assignera la position des droites qui la renferment ou qui en séparent les diverses branches.
10. On peut aussi déduire de l’équatien une expression fort simple de la différentielle de l’arc et de la longueur du rayon de courbure. Soit, en effets (fig. 7) un élément de la courbe, compris entre deux transversales consécutives, l’angle qu’il fait avec l’axe des et l’angle que font les transversales avec le même axe ; on aura et Par le point soit mené parallèle à l’axe des et comprise entre les transversales, le triangle donnera
or, si et sont les points où les transversales coupent l’axe des on aura d’un autre côté
