Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/113

${\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .\mathrm {M'KM} =\operatorname {Sin} .(100^{\circ }+\alpha )=\operatorname {Sin} .(100^{\circ }-\alpha )=\operatorname {Cos} .\alpha ,\\\\&\operatorname {Sin} .\mathrm {KM'M} =\operatorname {Sin} .(\theta -\alpha )\,;\end{aligned}}$

donc

$\operatorname {d} s={\frac {\operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Sin} .(\theta -\alpha )}}{\frac {\operatorname {d} \mathrm {P} }{\operatorname {d} p}}\operatorname {d} p.$

Si l’on élimine $\theta$ de cette expression, au moyen de l’équation $p=\operatorname {Tang} .\theta ,$ il ne restera plus qu’à intégrer une fonction d’une seule variable, pour obtenir la longueur d’un arc de la courbe compris entre deux transversales données quelconques.

Pour obtenir le rayon de courbure, il suffit de remarquer qu’il est égal à ${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} \alpha }}\,;$ or, l’équation $p=\operatorname {Tang} .\theta$ donne

$\operatorname {d} \theta ={\frac {\operatorname {d} p}{1+p^{2}}}\,;$

donc

${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} \theta }}={\frac {\left(1+p^{2}\right)\operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Sin} .(\theta -\alpha )}}{\frac {\operatorname {d} \mathrm {P} }{\operatorname {d} p}}.$

Cette expression du rayon de courbure fournit un moyen facile d’assigner les points d’inflexion et les asymptotes de la courbe ; elle fera aussi immédiatement reconnaître si la ligne droite ou le cercle fait partie des lignes comprises dans l’équation $\phi =0.$

11. PROBLÈME III. Quelle doit être la forme de l’équation intégrale, lorsque l’équation différentielle est de la forme $y-\beta =\mathrm {P} (x+\alpha ),\ \alpha$ et $\beta$ étant des constantes et $\mathrm {P}$ une fonction de $\mathrm {p}$ ?

Solution. Dans ce cas, les transversales représentées par l’équation $\phi '=0$ sont des droites passant par le même point $(\alpha ,\beta ).$ Soient $\mathrm {O}$ ce point (fig. 8), $\mathrm {OM,OM',OM''} ,\ldots$ les droites qui cor-