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${\begin{array}{ll}\mathrm {OK} =x'-\alpha ,&\mathrm {MK} =y'-\beta ,\\\\\mathrm {OS} =x-\alpha ,&\mathrm {NS} =y-\beta ,\end{array}}$

nous aurons

${\frac {x'-\alpha }{x-\alpha }}={\frac {y'-\beta }{y-\beta }}=c,$

d’où

$x'-\alpha =c(x-\alpha ),\qquad y'-\beta =c(y-\beta )\,;$

donc, si $\operatorname {f} (x'-\alpha ,y'-\beta )=0$ est l’équation individuelle de la courbe $\mathrm {MM',}$ l’équation générale de toutes les autres sera

$\operatorname {f} \left[c(x-\alpha ),c(y-\beta )\right]=0,$

où $c$ est la constante arbitraire.

13. Par des considérations tout-à-fait analogues à celles que nous avons employées ci-dessus (9), on reconnaîtra si les courbes comprises dans l’intégrale $\phi =0$ admettent des tangentes dans toutes les directions ; et on déterminera les droites qui les limitent ou qui en séparent les différentes branches.