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GÉOMÉTRIE TRANSCENDANTE.

Recherches analitiques, sur une classe de problèmes
de géométrie dépendant de la théorie des maxima
et minima ;

Par M. CH. Sturm.

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Soient $p,p',p'',\ldots$ les distances d’un point cherché $\mathrm {M}$ à des points fixes, donnés dans l’espace ; soient $q,q',q'',\ldots$ les distances du même point à d’autres points qui doivent être trouvés sur autant de courbes fixes données, planes ou à double courbure ; soient enfin $r,r',r'',\ldots$ les distances de ce point à des points qui sont assujettis à se trouver sur autant de surfaces données ; et l’équation

$u=\operatorname {F} (p,p',p'',\ldots q,q',q'',\ldots r,r',r'',\ldots ),$

dans laquelle $\operatorname {F}$ désigne une fonction connue quelconque, étant donnée, proposons-nous d’assigner les conditions nécessaires pour que la fonction $u$ soit maximum ou minimum.

Rapportons l’espace à trois plans rectangulaires quelconques. Soient $a,b,c,\ldots a',b',c',\ldots a'',b'',c'',\ldots$ respectivement, les coordonnées des points d’où partent les droites $p,p',p'',\ldots$ pour se diriger vers $\mathrm {M} \,;$ soient $d,e,f,\ldots d',e',f',\ldots d'',e'',f'',\ldots$ respectivement les coordonnées des points d’où partent les droites $q,q',q'',\ldots$ pour se diriger vers ce point ; et soient enfin $g,$