d’où l’on voit que, dans ce cas, si la résultante n’est pas nulle, sa direction devra être normale à la ligne sur laquelle le point doit être situé ; de sorte qu’elle sera en équilibre sur cette ligne, considérée comme obstacle à l’action qu’elle tend à produire.
On peut donc, en résumé, établir le théorème général que voici :
Soient les distances d’un point à des points fixes dans l’espace. Soient les distances du même point à des points mobiles sur des lignes fixes. Soient enfin les distances de ce point à des points mobiles sur des surfaces fixes.
Supposons que ce point soit tellement choisi dans l’espace qu’une fonction déterminée des distances soit un maximum ou un minimum ; et concevons ce même point sollicité, suivant les directions de ces distances, par des forces proportionnelles aux valeurs actuelles des dérivées partielles de prises par rapport à ces mêmes distances ; alors,
1.o Les droites seront respectivement normales aux lignes et surfaces auxquelles elles se termineront.
2.o Si le point est parfaitement libre dans l’espace, il devra se trouver en équilibre sous l’action des forces que nous avons supposé le solliciter ; et s’il est assujetti à se trouver sur une surface ou sur une ligne donnée, la résultante de ces mêmes forces, lorsqu’elle ne sera pas nulle, devra être normale à cette surface ou à cette ligne ; de sorte qu’on pourra dire, dans tous les cas, que le point est en équilibre.
L’inverse de ce théorème nest pas généralement vrai, c’est-à-dire que toutes ces diverses conditions peuvent fort bien être remplies, sans que, pour cela, il y ait nécessairement maximum ou minimum.
Dans le cas particulier où la fonction sera simplement la somme des distances ou la somme des produits respectifs de ces mêmes distances par des
